정의
를 체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수
가 다음 성질
![{\displaystyle f(a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} )=a_{1}f(\mathbf {u} _{1},\mathbf {v} )+a_{2}f(\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca18efa90f7c35f48804d469cb1b21479e377f7)
![{\displaystyle f(\mathbf {u} ,b_{1}\mathbf {v} _{1}+b_{2}\mathbf {v} _{2})=b_{1}f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} _{1})+b_{2}f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e44e3dd82f30419ab759b5326baef00484cd62)
을 만족하면, f를 U와 V 위의 이중선형형식(Bilinear form)이라고 한다.
벡터공간
의 기저를 각각
,
이라 하고, f를 U와 V의 이중선형형식이라 하자. 그러면
![{\displaystyle a_{ij}=f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c383e07b44d85339720d6623342925a7609ac6b8)
를 성분으로 가지는 m×n 행렬
를
에 관한 f의 행렬이라고 한다.
![{\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288fbb606e699ba2e92c938e26cd09197d91820f)
를 각각
의 좌표행렬(coordinate matrix)이라고 하자. 그러면 A가 U와 V의 이중선형형식 f를 나타내는 행렬일 필요충분조건은 임의의
에 대해
![{\displaystyle f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=X^{T}AY}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282c9c464c4c948ff1c9ecd8a65dbf65905747a5)
인 것이다.
성질
를 체 F 위의 벡터공간
위의 이중선형형식이라고 하자. 이중선형형식의 합과 곱을 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle (f+g)(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )+g(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337f96782390dd81397a849e150049a574434c82)
(단,
)
그러면
위의 모든 이중선형형식들의 집합은 벡터공간이다.