단순함수

정의

가측집합 $E\subset \mathbb {R}$에서 정의된 함수 $f:E\to \mathbb {R}$에 대해, 서로소이고 $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}=E$인 가측집합 $E_{1},\dots ,E_{n}$과 실수 $a_{1},\dots ,a_{n}$이 존재해

$f(x)=a_{i},\quad x\in E_{i},\;1\leq i\leq n$

이면 $f$를 단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}(x)$

예시

Example — 다음은 단순함수의 예시이다.

• 임의의 계단함수는 단순함수이다.
• 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.

성질

Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.

단순함수의 적분

 르베그 적분 단순함수의 표준표현(canonical representation)은

$\varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{A_{i}}$

와 같이 나타난다. 이때 $a_{1},\dots ,a_{n}$은 영이 아닌 서로 다른 실수이고, $A_{i}=\{x:\phi (x)=a_{i}\}$이다. 이때 $\varphi$의 적분을

$\int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(A_{i})$

으로 정의한다.