정의
가측집합
에서 정의된 함수
에 대해, 서로소이고
인 가측집합
과 실수
이 존재해
![{\displaystyle f(x)=a_{i},\quad x\in E_{i},\;1\leq i\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7caf06e3719edc5fbe44993094a06072ac343a)
이면
를 단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4cc88f37461ef757045a8f7a61705d7b6de8ba)
예시
Example — 다음은 단순함수의 예시이다.
- 임의의 계단함수는 단순함수이다.
- 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.
성질
Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.
단순함수의 적분
르베그 적분
단순함수의 표준표현(canonical representation)은
![{\displaystyle \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{A_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e311bff6cc1f461bb5bdf413cc1cc8f2fc8d165)
와 같이 나타난다. 이때
은 영이 아닌 서로 다른 실수이고,
이다. 이때
의 적분을
![{\displaystyle \int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b679fbf30b77b29eb09d1a7f592c3a675f620e6)
으로 정의하자. 그러면
이
이고 서로소인 가측집합일 때,
이면
![{\displaystyle \int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(E_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4346286303efa3d29801b9a800bce5d51d3cc622)
을 얻는다.
가측집합
에 대해
이고
이 유계인 함수일 때,
를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral),
를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다.
의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 르베그 적분가능(Lebesgue integrable)하다고 한다.