단순함수

정의

가측집합 $E\subset \mathbb {R}$에서 정의된 함수 $f:E\to \mathbb {R}$에 대해, 서로소이고 $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}=E$인 가측집합 $E_{1},\dots ,E_{n}$과 실수 $a_{1},\dots ,a_{n}$이 존재해

구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle f(x)=a_i,\{{달력|year={{#time:Y}<}|mongth=8}} '''8월 11일'''은 [[그레고리력]]으로 223번째([[윤년]]일 경우 224번째) 날이다. == 사건 == {{빈 문단}} == 출생 == * [[1860년]]: [[윤희순]] * [[1953년]]: 프로레슬러 [[헐크 호건]] * [[1981년]]: 배우 [[소유진]] * [[1983년]]: 배우 [[크리스 헴스워스]] * [[1984년]]: 한화 이글스 [[정재원(야구선수)]] * [[1991년]]: 레인보우의 [[조현영]] * [[1992년]]: 야구선수 [[강경학]] * [[1993년]]: 야구선수 [[이민호(1993)]] == 사망 == {{빈 문단}} == 기념일 == {{빈 문단}} == 같이 보기 == {{특수:다면분류//{{PAGENAME}}}} [[분류:성격/날짜]] [[분류:월/8월]] [[분류:일/11일]] x\in E_i,\;1\le i \le n}

이면 $f$를 단순함수(simple function)라고 한다. 단순함수를 지시함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}(x)$

예시

Example — 다음은 단순함수의 예시이다.

• 임의의 계단함수는 단순함수이다.
• 가측집합에서 정의된 임의의 지시함수는 단순함수이다.

성질

Theorem — 두 단순함수의 합과 곱은 단순함수이다.

단순함수의 적분

단순함수의 표준표현(canonical representation)은

$\varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{A_{i}}$

와 같이 나타난다. 이때 $a_{1},\dots ,a_{n}$은 영이 아닌 서로 다른 실수이고, $A_{i}=\{x:\phi (x)=a_{i}\}$이다. 이때 $\varphi$의 적분을

$\int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(A_{i})$

으로 정의하자. 그러면 $E_{1},\dots ,E_{n}$이 $m(E_{i})<\infty$이고 서로소인 가측집합일 때, $\varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}$이면

$\int \varphi =\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(E_{i})$

을 얻는다.

가측집합 $E$에 대해 $m(E)<\infty$이고 $f:E\to \mathbb {R}$이 유계인 함수일 때, $\inf _{\psi \geq f}\int _{E}\psi$를 상르베그 적분(upper Lebesgue integral), $\sup _{\varphi \leq f}\int _{E}\varphi$를 하르베그 적분(lower Lebesgue integral)이라고 한다. $f$의 상르베그 적분과 하르베그 적분이 같으면 르베그 적분가능(Lebesgue integrable)하다고 한다.