파투의 보조정리(Fatou's Lemma) — E ⊂ R {\displaystyle E\subset \mathbb {R} } 를 가측집합이라 하자. { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측함수 f n : E → R {\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} } 들의 함수열이고 E {\displaystyle E} 에서 f {\displaystyle f} 에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:
(증명을 적어주세요.)
Example — 함수 f n : R → R {\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } 을
으로 정의하면 f = 0 {\displaystyle f=0} 이므로
이다.
Theorem — { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측실함수들의 함수열이면 다음 부등식이 성립한다:
Theorem — 측도공간 ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )} 에서 { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} 이 음이 아닌 가측함수 f n : X → R {\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} } 들의 함수열이고 X {\displaystyle X} 에서 가측함수 f {\displaystyle f} 에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다: