지시함수

정의

집합 $X$ 와 그 부분집합 $A$ 에 대해, 함수 $\mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}$ 을 다음과 같이 정의하자.

$\mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\in A\\0,&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}$

$\mathbf {1} _{A}$ 를 지시함수(indicator function) 또는 특성함수(characteristic function)라고 한다. $I_{A}$ 나 $\chi _{A}$ 등으로 표기하기도 한다.

성질

Theorem — $X$ 의 부분집합 $A,B$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\mathbf {1} _{\emptyset }=0,\quad \mathbf {1} _{X}=1$
$A\subset B$ 이면 $\mathbf {1} _{A}\leq \mathbf {1} _{B}$ 이다.
$\mathbf {1} _{A\cup B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A\cap B}$
$\mathbf {1} _{A\cap B}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}=\mathbf {1} _{A\times B}$
$\mathbf {1} _{X\setminus A}=1-\mathbf {1} _{A}$
$\mathbf {1} _{A\setminus B}=\mathbf {1} _{A}-\mathbf {1} _{A\cap B}$

Theorem — 집합열 $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 의 각 항이 서로소고 $A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ 이면 $\mathbf {1} _{A}=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{A_{n}}$ 이다.

Theorem — 가측집합 $E$ 에서 정의된 지시함수 $\mathbf {1} _{A}$ 가 가측함수일 필요충분조건은 $A$ 가 가측집합인 것이다.

같이 보기