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정의 1. 구간
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
위상공간
X
{\displaystyle X}
연속함수
α
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \alpha :[0,1]\to X}
를 경로 (path)라고 한다. 이때
p
(
0
)
{\displaystyle p(0)}
p
(
1
)
{\displaystyle p(1)}
루프 (loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.
경로연결공간 정의 2. 위상공간
X
{\displaystyle X}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
X
{\displaystyle X}
경로연결공간 이라 한다.
정리 3. 경로연결공간은 연결공간 이다.
경로호모토피 두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지. 정의 4.
α
,
β
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to X}
α
(
0
)
=
β
(
0
)
{\displaystyle \alpha (0)=\beta (0)}
α
(
1
)
=
β
(
1
)
{\displaystyle \alpha (1)=\beta (1)}
F
:
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}
F
(
t
,
0
)
=
α
(
t
)
,
F
(
t
,
1
)
=
β
(
t
)
,
t
∈
I
{\displaystyle F(t,0)=\alpha (t),F(t,1)=\beta (t),\quad t\in I}
F
(
0
,
s
)
=
α
(
0
)
=
β
(
0
)
,
F
(
1
,
s
)
=
α
(
1
)
=
β
(
1
)
,
s
∈
I
{\displaystyle F(0,s)=\alpha (0)=\beta (0),F(1,s)=\alpha (1)=\beta (1),\quad s\in I}
이면
F
{\displaystyle F}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
호모토피 (homotopy)라고 하고,
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계 이다.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \alpha :[0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fc5a27774a636ef86fee842ee2ef4f32840aaa)
![{\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ce3e4a0fc96092295d77ff486a788df4d04585)
![{\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8935dc7cebf2aa3d676da7e02082cfd94ea5f10e)
