미분방정식 (微分方程式, Differential Equation)은 변수 , 함수 , 도함수 가 포함된 방정식 을 말한다. 미방 으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다.
용어와 개념
상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.
편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.
계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다.
차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.
선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다.
제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.
비선형(nonlinear): 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 비선형함수[1] 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.
예시
y
″
+
3
x
y
+
72
=
0
{\displaystyle y''+3xy+72=0}
는 이계 일차미분방정식이다.
(
d
2
y
d
x
2
)
3
−
(
d
y
d
x
)
72
=
sin
14
x
{\displaystyle \left({\mathrm {d^{2}} y \over \mathrm {d} x^{2}}\right)^{3}-\left({\mathrm {d} y \over \mathrm {d} x}\right)^{72}=\sin ^{14}x}
은 이계 삼차미분방정식이다.
sin
x
d
2
y
d
x
2
+
2
x
y
=
0
{\displaystyle \sin x{\mathrm {d^{2}} y \over \mathrm {d} x^{2}}+2xy=0}
은 선형 제차 미분방정식이다.
d
y
d
x
+
y
=
72
{\displaystyle {{\mathrm {d} y} \over {\mathrm {d} x}}+y=72}
는 선형 비제차 미분방정식이다.
sin
(
d
y
d
x
)
+
y
=
x
{\displaystyle \sin \left({{\mathrm {d} y} \over {\mathrm {d} x}}\right)+y=x}
는 비선형 미분방정식이다.
x
y
y
′
+
y
=
x
{\displaystyle xyy'+y=x}
는 비선형 미분방정식이다.
미분방정식의 형태와 해
미분방정식의 형태
General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다.
General Form:
F
(
x
,
y
,
y
′
,
y
″
,
.
.
.
y
(
n
)
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0}
의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
Normal Form:
d
n
y
d
x
n
=
f
(
x
,
y
,
y
′
,
.
.
.
,
y
(
n
−
1
)
)
{\displaystyle {d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)})}
의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
Standard Form:
y
(
n
)
+
a
1
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
−
1
y
′
+
a
n
=
0
{\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}=0}
의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
특수해, 일반해, 특이해
미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.
특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.
이 셋과 별개의 개념으로 자명한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.
예
y
′
+
2
y
3
2
=
0
{\displaystyle y'+2y^{3 \over 2}=0}
라는 미분방정식에 대해,
y
=
1
(
x
+
c
)
2
{\displaystyle y={1 \over (x+c)^{2}}}
은 일반해이다. 그런데,
y
=
0
{\displaystyle y=0}
의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.
즉,
y
=
0
{\displaystyle y=0}
은 이 일반해에 대한 특이해이다.
초깃값 문제와 경곗값 문제
깃과 곗 이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.
n
{\displaystyle n}
계 상미분방정식의 일반해는
n
{\displaystyle n}
개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.
초깃값 문제
미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.
해의 존재성과 유일성
다음 초깃값 문제
a
n
(
x
)
y
(
n
)
+
a
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
1
y
′
+
a
0
y
=
g
(
x
)
,
y
(
x
0
)
=
y
0
,
y
′
(
x
0
)
=
y
1
,
⋯
,
y
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
y
n
−
1
{\displaystyle a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=g(x),y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y_{1},\cdots ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}}
에 대해,
a
0
(
x
)
,
a
1
(
x
)
,
⋯
,
a
n
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle a_{0}(x),a_{1}(x),\cdots ,a_{n}(x),g(x)}
가
x
0
{\displaystyle x_{0}}
를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든
x
{\displaystyle x}
에 대해
a
n
(
x
)
≠
0
{\displaystyle a_{n}(x)\neq 0}
이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다.
경곗값 문제
미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.
2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로
α
1
y
(
a
)
+
β
1
y
′
(
a
)
=
γ
1
{\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\beta _{1}y'(a)=\gamma _{1}}
α
2
y
(
b
)
+
β
2
y
′
(
b
)
=
γ
2
{\displaystyle \alpha _{2}y(b)+\beta _{2}y'(b)=\gamma _{2}}
와 같이 주어진다.
예
y
′
−
2
x
y
=
3
,
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle y'-2xy=3,y(0)=1}
은 초깃값 문제이다.
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle y(0)=1}
을 초기 조건이라고 부른다.
y
″
−
3
y
′
−
y
=
0
,
y
(
1
)
=
1
,
y
′
(
1
)
=
−
1
{\displaystyle y''-3y'-y=0,y(1)=1,y'(1)=-1}
은 초깃값 문제이다.
y
″
−
34
y
′
−
2
x
y
=
x
2
,
y
(
0
)
=
1
,
y
(
2
)
=
4
{\displaystyle y''-34y'-2xy=x^{2},y(0)=1,y(2)=4}
는 경곗값 문제이다.
y
(
0
)
=
1
,
y
(
2
)
=
4
{\displaystyle y(0)=1,y(2)=4}
를 경계 조건이라고 부른다.
유명한 미분방정식
맬서스 인구 성장 모형
1798년 영국의 경제학자 맬서스 에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간
t
{\displaystyle t}
에서의 총 인구수를
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
라고 하면 다음과 같이 나타난다.
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
{\displaystyle {\mathrm {d} P(t) \over \mathrm {dt} }=rP(t)}
여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는
P
(
t
)
=
e
r
t
+
c
{\displaystyle P(t)=e^{rt+c}}
이다.
스프링에 의한 단순 조화 운동
스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.
스프링이 평형점에서부터
x
{\displaystyle x}
만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
이다.
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle F=ma=m{\mathrm {d^{2}x} \over \mathrm {dt} ^{2}}}
이므로,
−
k
x
=
m
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle -kx=m{\mathrm {d^{2}x} \over \mathrm {dt} ^{2}}}
이고, 이를 다시 쓰면
m
d
2
x
d
t
2
+
k
x
=
0
{\displaystyle m{\mathrm {d^{2}x} \over \mathrm {dt} ^{2}}+kx=0}
이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면
x
(
t
)
=
c
1
cos
ω
t
+
c
2
sin
ω
t
,
ω
=
k
m
{\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \omega t+c_{2}\sin \omega t,\omega ={\sqrt {k \over m}}}
이 된다.
삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면
x
(
t
)
=
A
cos
(
ω
t
−
ϕ
)
,
A
=
c
1
2
+
c
2
2
,
ϕ
=
tan
−
1
(
c
2
c
1
)
{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\phi ),A={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},\phi =\tan ^{-1}\left({c_{2} \over c_{1}}\right)}
이고,
A
{\displaystyle A}
는 최대 진폭,
ψ
{\displaystyle \psi }
는 위상각이라 한다.
미분방정식의 해법
1계 상미분 방정식
변수분리형 미분방정식
1계 미분방정식의 형태가
d
y
d
x
=
g
(
x
)
h
(
y
)
{\displaystyle {\mathrm {dy} \over \mathrm {dx} }={g(x) \over h(y)}}
와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
h
(
y
)
d
y
=
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle h(y)dy=g(x)dx}
양변을 적분해주면
∫
h
(
y
)
d
y
=
∫
g
(
x
)
d
x
+
c
{\displaystyle \int h(y)\,\mathrm {dy} =\int g(x)\,\mathrm {dx} +c}
가 된다.
예
앞서 소개한 인구 모형
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
{\displaystyle {\mathrm {d} P(t) \over \mathrm {dt} }=rP(t)}
를 풀어보자. 이 식을 적절 히 정리해 주면,
1
P
(
t
)
d
P
(
t
)
=
r
d
t
{\displaystyle {1 \over P(t)}\mathrm {d} P(t)=r\mathrm {dt} }
가 된다. 적분해주면,
ln
|
P
(
t
)
|
=
r
t
+
c
{\displaystyle \ln |P(t)|=rt+c}
이고, 다시 정리해
P
(
t
)
=
e
r
t
+
c
{\displaystyle P(t)=e^{rt+c}}
를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)
여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건
P
(
0
)
=
P
0
{\displaystyle P(0)=P_{0}}
를 적용해 보자.
P
(
0
)
=
e
c
=
P
0
{\displaystyle P(0)=e^{c}=P_{0}}
이므로,
P
(
t
)
=
P
0
e
r
t
{\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}}
라는 특수해를 얻는다.
완전 미분방정식
이변수함수
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
의 전미분은
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} f={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy}
이다.
∂
{\displaystyle \partial }
는 편미분 기호로, 항목을 참조하라.
1계 미분방정식
M
(
x
,
y
)
+
N
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
0
{\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\mathrm {dy} \over \mathrm {dx} }=0}
의 양변에 dx를 곱하면
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle M(x,y)\mathrm {dx} +N(x,y)\mathrm {dy} =0}
이고,
이 미분방정식의 좌변이 위의
d
f
{\displaystyle \mathrm {d} f}
, 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 미분 형태가 완전하다(exact)고 하고, 이 미분방정식을 완전 미분방정식(exact differential equation)이라고 한다.
이 미분방정식을 풀어보자.
M
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle M(x,y)={\partial f \over \partial x}}
이므로 양변을 적분해주면,
∫
M
(
x
,
y
)
d
x
+
h
(
y
)
=
f
{\displaystyle \int M(x,y)\,\mathrm {dx} +h(y)=f}
이다. 여기서는 편미분에 무참히 갈려나갔던
y
{\displaystyle y}
의 함수가 적분상수가 된다.
이 함수
f
{\displaystyle f}
는
∂
f
∂
y
=
N
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\partial f \over \partial y}=N(x,y)}
도 만족하므로,
y
{\displaystyle y}
에 대해 편미분해주면,
N
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
=
∂
∂
y
∫
M
(
x
,
y
)
d
x
+
h
′
(
y
)
{\displaystyle N(x,y)={\partial f \over \partial y}={\partial \over \partial y}\int M(x,y)\,\mathrm {dx} +h'(y)}
이 성립할 것이다. 즉
h
(
y
)
{\displaystyle h(y)}
는 다음 조건을 만족하는 함수이다.
h
′
(
y
)
=
N
(
x
,
y
)
−
∂
∂
y
∫
M
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\partial \over \partial y}\int \,M(x,y)dx}
이를
y
{\displaystyle y}
에 대해 잘 적분해
h
(
y
)
{\displaystyle h(y)}
를 구하고,
∫
M
(
x
,
y
)
d
x
+
h
(
y
)
=
f
{\displaystyle \int M(x,y)\,\mathrm {dx} +h(y)=f}
에 다시 대입해 주면
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
를 구할 수 있다.
완전미분 여부 확인
이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, 아니면 말고 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
와
N
(
x
,
y
)
{\displaystyle N(x,y)}
가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle M(x,y)\mathrm {dx} +N(x,y)\mathrm {dy} =0}
이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은
∂
M
∂
y
=
∂
N
∂
x
{\displaystyle {\partial M \over \partial y}={\partial N \over \partial x}}
이다.
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle M(x,y)\mathrm {dx} +N(x,y)\mathrm {dy} }
가 어떤 함수
f
{\displaystyle f}
의 전미분이라고 가정하면,
M
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
,
N
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
{\displaystyle M(x,y)={\partial f \over \partial x},N(x,y)={\partial f \over \partial y}}
를 만족한다.
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면
∂
∂
y
(
∂
f
∂
x
)
=
∂
∂
x
(
∂
f
∂
y
)
{\displaystyle {\partial \over \partial y}\left({\partial f \over \partial x}\right)={\partial \over \partial x}\left({\partial f \over \partial y}\right)}
를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,
∂
M
∂
y
=
∂
∂
y
(
∂
f
∂
x
)
=
∂
∂
x
(
∂
f
∂
y
)
=
∂
N
∂
x
{\displaystyle {\partial M \over \partial y}={\partial \over \partial y}\left({\partial f \over \partial x}\right)={\partial \over \partial x}\left({\partial f \over \partial y}\right)={\partial N \over \partial x}}
임을 알 수 있다.
추가바람
적분인자
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle M(x,y)\mathrm {dx} +N(x,y)\mathrm {dy} =0}
형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수
μ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)}
를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의
μ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)}
를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.
즉, 함수
μ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)}
가 적분인자일 필요충분조건은
∂
μ
M
∂
y
=
∂
μ
N
∂
x
{\displaystyle {\partial \mu M \over \partial y}={\partial \mu N \over \partial x}}
이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면,
N
∂
μ
∂
x
−
M
∂
μ
∂
y
=
μ
(
∂
M
∂
y
−
∂
N
∂
x
)
{\displaystyle N{\partial \mu \over \partial x}-M{\partial \mu \over \partial y}=\mu ({\partial M \over \partial y}-{\partial N \over \partial x})}
이다.
이를 만족하는
μ
{\displaystyle \mu }
를 찾으면 되는데, 저게 편미분방정식(...)인게 문제다. 원래 미분방정식보다 풀기 어렵다는 뜻이다. 하지만 다행히도, 특수한 경우에는
μ
{\displaystyle \mu }
를 구할 수가 있다. 이하,
f
x
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle f_{x}={\partial f \over \partial x}}
이다.
M
y
−
N
x
N
{\displaystyle {M_{y}-N_{x} \over N}}
이
x
{\displaystyle x}
만의 함수일 때. 적분인수는
e
∫
M
y
−
N
x
N
d
x
{\displaystyle e^{\int {M_{y}-N_{x} \over N}\,\mathrm {dx} }}
이다.
M
y
−
N
x
M
{\displaystyle {M_{y}-N_{x} \over M}}
이
y
{\displaystyle y}
만의 함수일 때. 적분인수는
e
∫
M
y
−
N
x
M
d
y
{\displaystyle e^{\int {M_{y}-N_{x} \over M}\,\mathrm {dy} }}
이다.
1계 선형 상미분방정식
1계 선형 상미분방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타난다.
a
1
(
x
)
d
y
d
x
+
a
0
(
x
)
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{1}(x){\mathrm {dy} \over \mathrm {dx} }+a_{0}(x)y=f(x)}
양변을
a
1
(
x
)
{\displaystyle a_{1}(x)}
로 나누면
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
{\displaystyle {\mathrm {dy} \over \mathrm {dx} }+P(x)y=Q(x)}
와 같이 쓸 수 있다. 이를 표준형이라고 한다.
제차일 경우, 즉
Q
(
x
)
=
0
{\displaystyle Q(x)=0}
일 때는
d
y
y
=
−
P
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\mathrm {dy} \over y}=-P(x)\mathrm {dx} }
이므로 변수분리형이고, 적분하면 풀 수 있다.
비제차일 경우, 그 적분인수는
μ
(
x
)
=
e
∫
P
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mu (x)=e^{\int P(x)\,\mathrm {dx} }}
이고, 해는
y
=
1
μ
(
x
)
(
∫
μ
(
x
)
Q
(
x
)
d
x
+
C
)
{\displaystyle y={1 \over \mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)\,\mathrm {dx} +C\right)}
이다.
증명은 간단하다.
양변에 적분인수를 곱하면,
d
y
d
x
μ
(
x
)
+
μ
(
x
)
P
(
x
)
y
=
μ
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {dx} }}\mu \left(x\right)+\mu \left(x\right)P\left(x\right)y=\mu \left(x\right)Q\left(x\right)}
이고, 이것은 곧
(
y
μ
(
x
)
)
′
=
μ
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle \left(y\mu \left(x\right)\right)'=\mu \left(x\right)Q\left(x\right)}
이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면
y
=
1
μ
(
x
)
(
∫
μ
(
x
)
Q
(
x
)
d
x
+
C
)
{\displaystyle y={1 \over \mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)\,dx+C\right)}
이다.
치환
변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다.
첫번째 경우
방정식
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}
가
M
(
t
x
,
t
y
)
=
t
α
M
(
x
,
y
)
,
N
(
t
x
,
t
y
)
=
t
α
N
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(tx,ty)=t^{\alpha }M(x,y),N(tx,ty)=t^{\alpha }N(x,y)}
를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를
M
(
x
,
y
)
=
x
α
M
(
1
,
u
)
,
N
(
x
,
y
)
=
x
α
N
(
1
,
u
)
(
u
=
y
/
x
)
{\displaystyle M(x,y)=x^{\alpha }M(1,u),N(x,y)=x^{\alpha }N(1,u)(u=y/x)}
또는
M
(
x
,
y
)
=
y
α
M
(
v
,
1
)
,
N
(
x
,
y
)
=
y
α
N
(
v
,
1
)
(
v
=
x
/
y
)
{\displaystyle M(x,y)=y^{\alpha }M(v,1),N(x,y)=y^{\alpha }N(v,1)(v=x/y)}
형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자.
y
=
u
x
{\displaystyle y=ux}
이므로
d
y
=
u
d
x
+
x
d
u
{\displaystyle dy=udx+xdu}
꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면
x
α
M
(
1
,
u
)
d
x
+
x
α
N
(
1
,
u
)
(
u
d
x
+
x
d
y
)
=
0
{\displaystyle x^{\alpha }M(1,u)dx+x^{\alpha }N(1,u)(udx+xdy)=0}
이 된다.
x
α
{\displaystyle x^{\alpha }}
로 나누면
M
(
1
,
u
)
d
x
+
N
(
1
,
u
)
(
u
d
x
+
x
d
u
)
=
0
{\displaystyle M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0}
꼴이 되고,
(
M
(
1
,
u
)
+
u
N
(
1
,
u
)
)
d
x
+
x
N
(
1
,
u
)
d
u
=
0
{\displaystyle (M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0}
로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면
d
x
x
+
N
(
1
,
u
)
d
u
M
(
1
,
u
)
+
u
N
(
1
,
u
)
=
0
{\displaystyle {dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0}
이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서
y
=
u
x
{\displaystyle y=ux}
임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로
y
=
u
x
{\displaystyle y=ux}
또는
x
=
v
y
{\displaystyle x=vy}
를 대입하여 풀면 된다.
두번째 경우
d
y
d
x
=
f
(
A
x
+
B
y
+
C
)
,
B
≠
(
0
)
{\displaystyle {dy \over dx}=f(Ax+By+C),B\neq (0)}
를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게
u
=
A
x
+
B
y
+
C
{\displaystyle u=Ax+By+C}
로 치환하여 풀 수 있다.
베르누이 방정식
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
{\displaystyle {dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}}
꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)이라고 한다.
n
=
0
{\displaystyle n=0}
또는
n
=
1
{\displaystyle n=1}
의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히
n
=
1
{\displaystyle n=1}
또는
Q
(
x
)
=
0
{\displaystyle Q(x)=0}
인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우
u
=
y
1
−
n
{\displaystyle u=y^{1-n}}
로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다.
2계 이상의 상미분 방정식
여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다.
제차
적당한 실수
r
{\displaystyle r}
에 대해
y
=
e
r
t
{\displaystyle y=e^{rt}}
라 가정한다. 이를
a
y
″
+
b
y
′
+
c
y
=
0
{\displaystyle ay''+by'+cy=0}
에 넣고 간단히 정리하면
a
r
2
+
b
r
+
c
=
0
{\displaystyle ar^{2}+br+c=0}
이다. 이 방정식의 근을
r
1
,
r
2
{\displaystyle r_{1},\,r_{2}}
라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다.
1.
r
1
≠
r
2
,
r
1
,
r
2
∈
R
{\displaystyle r_{1}\neq r_{2},\quad r_{1},r_{2}\in \mathbb {R} }
:
y
=
e
r
1
t
,
y
=
e
r
2
t
{\displaystyle y=e^{r_{1}t},\,y=e^{r_{2}t}}
가 두 특수해가 된다. 일반해는 특수해의 선형결합이므로, 적당한 실수
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
에 대해
y
=
c
1
e
r
1
t
+
c
2
e
r
2
t
{\displaystyle y=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}}
가 해.
2.
r
1
≠
r
2
,
r
1
,
r
2
∈
C
{\displaystyle r_{1}\neq r_{2},\quad r_{1},r_{2}\in \mathbb {C} }
:
두 근이 복소수인 경우.
r
1
=
α
+
i
β
{\displaystyle r_{1}=\alpha +i\beta }
라 가정하자. 그럼
e
r
1
t
=
e
α
t
(
cos
β
t
+
i
sin
β
t
)
{\displaystyle e^{r_{1}t}=e^{\alpha t}\left(\cos \beta t+i\sin \beta t\right)}
이다 (오일러의 공식 ). 적당한 연산을 통해 실수부와 허수부가 각각 원 방정식의 특수해가 됨을 알 수 있다. 더욱이 이 두 특수해는 선형 독립이므로,
e
α
t
(
c
1
cos
β
t
+
c
2
sin
β
t
)
{\displaystyle e^{\alpha t}\left(c_{1}\cos \beta t+c_{2}\sin \beta t\right)}
가 일반해이다.
3.
r
1
=
r
2
{\displaystyle r_{1}=r_{2}}
:
먼저
e
r
1
t
{\displaystyle e^{r_{1}t}}
가 한 해임을 알 수 있다. 이를
y
1
{\displaystyle y_{1}}
이라 하자. 나머지 한 특이해를 찾기 위해 Variation of Parameter 방법을 사용한다.
적당한
v
(
t
)
{\displaystyle v\left(t\right)}
에 대해
y
2
=
y
1
v
{\displaystyle y_{2}=y_{1}v}
가 방정식
y
″
+
P
y
′
+
Q
=
0
{\displaystyle y''+Py'+Q=0}
의 해라고 가정하자. 여기에
y
2
{\displaystyle y_{2}}
를 대입하고 정리하면
y
1
v
″
+
(
2
y
1
′
+
P
y
1
)
v
′
=
0
{\displaystyle y_{1}v''+\left(2y_{1}'+Py_{1}\right)v'=0}
이다. 이제
y
1
≠
0
{\displaystyle y_{1}\neq 0}
이라고 가정하면,
v
″
+
(
2
y
1
′
y
1
+
P
)
v
′
=
0
{\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'}{y_{1}}}+P\right)v'=0}
이고, 이는
v
′
{\displaystyle v'}
에 관한 일차 선형 상미분 방정식이다. 이를 풀어주면
v
(
t
)
=
∫
exp
(
−
∫
P
(
t
)
d
t
)
y
1
2
d
t
{\displaystyle v\left(t\right)=\int {\frac {\exp \left(-\int P\left(t\right)\mathrm {dt} \right)}{{y_{1}}^{2}}}\mathrm {dt} }
이다. 특이할 점은,
y
″
+
b
a
y
′
+
c
a
y
=
0
{\displaystyle y''+{\frac {b}{a}}y'+{\frac {c}{a}}y=0}
일 때
v
(
t
)
=
t
{\displaystyle v\left(t\right)=t}
라는 것이다. 따라서 두번째 특수해는
y
2
=
t
e
r
1
t
{\displaystyle y_{2}=te^{r_{1}t}}
임을 알 수 있고, 따라서 일반해는
c
1
e
r
1
t
+
c
2
t
e
r
1
t
{\displaystyle c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}te^{r_{1}t}}
이다.
비제차
제차의 일반해를
y
h
{\displaystyle y_{h}}
, 비제차의 한 특수해를
ψ
{\displaystyle \psi }
라 하면,
y
=
y
h
+
ψ
{\displaystyle y=y_{h}+\psi }
는 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 된다. 증명은 다음과 같다.
ϕ
{\displaystyle \phi }
가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼
ϕ
−
ψ
{\displaystyle \phi -\psi }
는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서
ϕ
−
ψ
=
y
h
{\displaystyle \phi -\psi =y_{h}}
이고, 따라서
ϕ
=
y
h
+
ψ
{\displaystyle \phi =y_{h}+\psi }
이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가
y
h
+
ψ
{\displaystyle y_{h}+\psi }
임을 나타낸다.
문제는 여기서 어떻게
ψ
{\displaystyle \psi }
를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들.
Variaion of Parameters: 적당한
u
1
(
t
)
,
u
2
(
t
)
{\displaystyle u_{1}\left(t\right),\,u_{2}\left(t\right)}
에 대해
ψ
=
u
1
y
1
+
u
2
y
2
{\displaystyle \psi =u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}}
라 가정하자 (
y
1
,
y
2
{\displaystyle y_{1},y_{2}}
는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면
u
1
′
=
−
y
2
g
W
[
y
1
,
y
2
]
,
u
2
′
=
y
1
g
W
[
y
1
,
y
2
]
{\displaystyle {u_{1}}'=-{\frac {y_{2}g}{W\left[y_{1},y_{2}\right]}},\,{u_{2}}'={\frac {y_{1}g}{W\left[y_{1},y_{2}\right]}}}
이다 (
g
{\displaystyle g}
는 비제차 항,
W
{\displaystyle W}
는 Wronskian).
Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 복소수 를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다.
라플라스 변환
일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자.
상수계수 상미분 방정식
차수가 3 이상일 경우에는 기본적으로 2계 상미분 방정식과 동일한 방법을 사용한다. 비제차의 경우에는 Judicious Guessing이나 라플라스 변환을 사용해 특수해를 찾는 것도 동일.
비선형 상미분방정식
빈 문단
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연립 미분방정식
미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 행렬 이 필수이며, 고유값과 같은 선형대수학 적 지식도 필요하다.
편미분방정식(PDE)
본문을 가져온 내용
이 내용은 편미분방정식 문서의 본문을 가져와 보여주고 있습니다. 더 자세한 내용은 해당 문서에서 확인해 주십시오.
편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다.
정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다.
↑ 일차가 아닌 모든 함수, 즉 이차 이상의 다항함수,
sin
{\displaystyle \sin }
와 같은 초월함수 등
각주