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정의

체 F와 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\in F$에 대해, $m\times n$ 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix) V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \cdots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \cdots & {\alpha }_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \cdots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]={\left({\alpha }_i^{j-1}\right)}_{m\times n}$

위 행렬의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하는 책도 있다.

알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre‐Théophile Vandermonde)를 따라 이름이 붙었다.

성질

방데르몽드 행렬 V가 n차 정사각행렬인 경우 아래의 성질을 갖는다.

• V의 행렬식을 방데르몽드 행렬식이라 하며, 이는

  $detV=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

의 값을 가진다(i와 j의 첨자 순서에 유의할 것). 따라서 V가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른 $i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}$에 대해 ${\alpha }_i\ne {\alpha }_j$인 것이다.

• V가 가역일 때, V의 역행렬을 $V^{-1}=[{\beta }_{ij}]$라 하면, 다음 식이 성립한다.

  ${\beta }_{ij}=(-1{)}^{i-1}\frac{S_{n-i}({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{j-1},{\alpha }_{j+1},\cdots ,{\alpha }_n)}{\prod _{k\ne j}({\alpha }_k-{\alpha }_j)}$

이때, $S_{n-i}$는 기본대칭함수이다.

증명. V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.

$\sum _{k=1}^n{\alpha }_i^{k-1}{\beta }_{kj}={\delta }_{ij}$

이때, ${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타이다. 다항식 $P_j(x)$를

$P_j(x)=\sum _{k=1}^n{\beta }_{kj}{x}^{k-1}$

로 정의하면 $P_j({\alpha }_i)=\sum _{k=1}{\beta }_{kj}{\alpha }_i^{k-1}={\delta }_{ij}$이다. 라그랑주 보간법에 의해,

$\begin{array}{cc}{P}_j(x)& =\sum _{i=1}^n{\delta }_{ij}{L}_i(x)\\ & =L_j(x)\\ & =\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{k\ne j}}\frac{x-{\alpha }_k}{{\alpha }_j-{\alpha }_k}\end{array}$

이다. 이때 $L_j(x)$는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해

$\begin{array}{cc}{\beta }_{kj}& =\frac{\sum _{1\le i_1<\cdots <i_{n-k}\le n}\prod _{j=1}^{n-k}(-{\alpha }_{i_j})}{\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le m\le n}{k\ne j}}({\alpha }_j-{\alpha }_m)}\\ & =\frac{(-1{)}^{n-k}\sum _{1\le i_1<\cdots <i_{n-k}\le n}\prod _{j=1}^{n-k}{\alpha }_{i_j}}{(-1{)}^{n-1}\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le m\le n}{m\ne j}}({\alpha }_m-{\alpha }_j)}\\ & =\frac{(-1{)}^{k-1}{S}_{n-k}({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{j-1},{\alpha }_{j+1},\cdots ,{\alpha }_n)}{\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le m\le n}{k\ne j}}({\alpha }_m-{\alpha }_j)}\end{array}$

임을 안다. k를 i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.

외부 링크

• Vandermonde's Matrix (Proofwiki)

참고문헌

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6