삼각함수 (三角函數)는 수학 에서 각도 에 대한 함수 로, 대표적인 초월함수 이다. 중학교에서는 삼각비라는 이름으로 배우는데, 이는 직각삼각형 에서 직각이 아닌 한 각이 같을 경우 항상 닮음 이 되어 길이의 비가 일정하다는 점에서 착안하여 만들어졌다. 직각이 아닌 한 각을 기준으로 하여 각과 닿아있는 변을 밑변, 그렇지 않은 변을 높이라 했을 때,
sin=높이/빗변
cos=밑변/빗변
tan=높이/밑변
으로 정의한다. 그런데 직각삼각형 이라는 특성 상, 음의 각이나 직각을 넘어가는 각에 대해서는 비를 나타낼 수 없었고, 이에 따라 일반화를 좋아하는 수학자들이 직각삼각형이 아닌 단위원을 사용하여 일반적인 각도에 대한 삼각함수 를 정의하게 된다.
단위원에서
x
{\displaystyle x}
축의 양의 방향을 시초선으로, 원점과 단위원의 한 점을 지나는 반직선을 동경으로 하여 생기는 각을
θ
{\displaystyle \theta }
라 하면, 단위원의 점의
x
{\displaystyle x}
좌표를
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
,
y
{\displaystyle y}
좌표를
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
로 정의한다. 탄젠트는
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
로 정의하게 된다. 이 방법으로는 모든 각에 대한 삼각비의 값을 구할 수 있다.
직각삼각형이나 단위원 외에도 무한 급수나 복소함수를 사용한 정의도 존재한다.
참고로 삼각함수는 안 쓰이는 곳이 없다. 대학에서 수학과 완전히 관련이 없는 전공이 아닌 이상 졸업할 때까지 삼각함수와 만나게 된다. 일상 생활을 모델링하는데 쓰이는 미분방정식 은 물론이요, 함수를 비교적 간단하게 만들어주는 푸리에 변환 에서도 주구장창 쓰이며, 좀 더 극단적으로 가면 막대기 하나로 건물의 높이를 잴 수도 있다. 삼각함수 그 자체는 별로 어려울 것이 없으니 열심히 공부하자.
종류
파일:삼각함수.png 사인 , 코사인 , 탄젠트 , 코시컨트 , 시컨트 , 코탄젠트
역수
csc(cosec) (sin의 역수)
sec (cos의 역수)
cot (tan의 역수)
삼각방정식과 부등식
삼각함수가 들어가있는 방정식과 부등식. 참고로 삼각부등식 은 일반적으로 거리함수와 관련된 부등식을 말하니 헷갈리지 않도록 하자. 푸는 방법은 공통적으로 그래프를 활용한다. 먼저 아랫 문단의 공식을 사용하여 최대한 간단하게 정리한 뒤, 좌변과 우변의 그래프를 각각 그린다. 그 후 교점, 혹은 구간을 찾아 적으면 끝. 여기서 주의할 점은, 삼각방정식이나 부등식의 해는 정의역이 주어지지 않는한, 주기성 을 띈다는 것이다. 따라서 답에도 주기성을 표현해 주어야 한다.
그래프로 그리기 힘든 경우, 좌변과 우변을 같은 함수로 맞춰준다. 즉,
sin
∗
=
sin
∗
∗
{\displaystyle \sin *=\sin **}
와 같은 식으로. 그 후 삼각함수 안의 것을 같다고 둔 뒤, 주기성을 표현해 주면 된다.
공식
기본
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }
일하다 타면 시커매진다.
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }
일하다 코타면 코만 시커매진다.
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
(오일러의 공식 )
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
(드무아브르의 정리 )
주기성
sin
(
x
+
2
π
)
=
sin
x
{\displaystyle \sin \left(x+2\pi \right)=\sin x}
cos
(
x
+
2
π
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos \left(x+2\pi \right)=\cos x}
tan
(
x
+
π
)
=
tan
x
{\displaystyle \tan \left(x+\pi \right)=\tan x}
각도 변환
sin
(
x
±
n
π
2
)
{\displaystyle \sin \left(x\pm {\frac {n\pi }{2}}\right)}
에서,
x
{\displaystyle x}
를 여각이라 가정하고,
x
±
n
π
2
{\displaystyle x\pm {\frac {n\pi }{2}}}
가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 소위 "얼싸안고"에 의해 부호를 결정.
x
{\displaystyle x}
를 여각이라 가정해도 되는 이유는
x
{\displaystyle x}
의 값에 상관없이 항상 성립하기 때문이다.
n
{\displaystyle n}
이 짝수이면
sin
{\displaystyle \sin }
그대로, 홀수이면
cos
{\displaystyle \cos }
으로.
cos
(
x
±
n
π
2
)
{\displaystyle \cos \left(x\pm {\frac {n\pi }{2}}\right)}
에서,
x
{\displaystyle x}
를 여각이라 가정하고,
x
±
n
π
2
{\displaystyle x\pm {\frac {n\pi }{2}}}
가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 부호를 결정.
n
{\displaystyle n}
이 짝수이면
cos
{\displaystyle \cos }
그대로, 홀수이면
sin
{\displaystyle \sin }
으로.
tan
(
x
±
n
π
2
)
{\displaystyle \tan \left(x\pm {\frac {n\pi }{2}}\right)}
에서,
x
{\displaystyle x}
를 여각이라 가정하고,
x
±
n
π
2
{\displaystyle x\pm {\frac {n\pi }{2}}}
가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 부호를 결정.
n
{\displaystyle n}
이 짝수이면
tan
{\displaystyle \tan }
그대로, 홀수이면
cot
{\displaystyle \cot }
으로.
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x}
(기함수)
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x}
(우함수)
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \tan \left(-x\right)=-\tan x}
(기함수)
덧셈 정리
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}
사코코사
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}
코코마사사
tan
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}}
일마탄탄타플탄
더 자세한 것은 삼각함수의 덧셈정리 참조.
합차 공식
sin
α
cos
β
=
1
2
(
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left(\sin \left(\alpha +\beta \right)+\sin \left(\alpha -\beta \right)\right)}
cos
α
sin
β
=
1
2
(
sin
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left(\sin \left(\alpha +\beta \right)-\sin \left(\alpha -\beta \right)\right)}
cos
α
cos
β
=
1
2
(
cos
(
α
+
β
)
+
cos
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left(\cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left(\alpha -\beta \right)\right)}
sin
α
sin
β
=
−
1
2
(
cos
(
α
+
β
)
−
cos
(
α
−
β
)
)
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left(\cos \left(\alpha +\beta \right)-\cos \left(\alpha -\beta \right)\right)}
sin
A
+
sin
B
=
2
sin
A
+
B
2
cos
A
−
B
2
{\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}
sin
A
−
sin
B
=
2
cos
A
+
B
2
sin
A
−
B
2
{\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}
cos
A
+
cos
B
=
2
cos
A
+
B
2
cos
A
−
B
2
{\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}
cos
A
−
cos
B
=
−
2
sin
A
+
B
2
sin
A
−
B
2
{\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}
더 자세한 것은 삼각함수의 덧셈정리 참조.
미적분
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos x=-\sin x}
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=\sec ^{2}x}
d
d
x
sec
x
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x=\sec x\tan x}
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc x=-\csc x\cot x}
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-\csc ^{2}x}
적분은 위에 것들을 거꾸로 하면 된다. 아래 공식은 위에 없는 것들.
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
{\displaystyle \int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln \left|\cos x\right|}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
{\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\sin x\right|}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
{\displaystyle \int \sec x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\sec x+\tan x\right|}
∫
csc
x
d
x
=
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
{\displaystyle \int \csc x\,\mathrm {d} x=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|}
매클로린 급수
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
복소함수로 정의하기
삼각함수는 복소함수로 정의할 수도 있다.
sin
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
{\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}
cos
z
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
{\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}
tan
z
=
sin
z
cos
z
=
e
2
i
z
−
1
i
(
e
2
i
z
+
1
)
{\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{2iz}-1}{i(e^{2iz}+1)}}}
역삼각함수
일반적으로, 삼각함수는 일대일 함수가 아니기 때문에 역함수가 존재하지 않는다. 하지만 정의역을 지정해 준다면 그 정의역 내에서는 일대일 함수가 되며, 따라서 역함수를 정의해 줄 수 있다. 역삼각함수는 -1 을 붙여서 표기하거나 아니면 "arc"를 붙여서 표기하기도 한다.
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
: 정의역을
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
, 치역을
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
로 함.
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
: 정의역을
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
, 치역을
[
0
,
π
]
{\displaystyle \left[0,\pi \right]}
로 함.
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
: 정의역을
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}
, 치역을
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
로 함.
쌍곡선함수
이와 관련한 내용은
쌍곡선함수 에서 볼 수 있습니다.
sinh
,
cosh
{\displaystyle \sinh ,\,\cosh }
와 같이 뒤에 "h"가 붙은 것들. 여기서 h는 hyperbolic의 약자이다. 삼각함수와 대체로 비슷한 성질을 지니지만, 정작 삼각함수는 들어가 있지 않다.
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}}
sinh
{\displaystyle \sinh }
와
tanh
{\displaystyle \tanh }
는 기함수이며,
cosh
{\displaystyle \cosh }
는 우함수이다. 특히,
cosh
{\displaystyle \cosh }
는 현수선 의 방정식으로 알려져있다.