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실수(實數, real number)는 실수 집합의 원소를 말한다. 실수 집합 ${\mathbb {R}}$은 아래의 세 공리(계)를 만족하는 집합이며, 그 존재성은 유리수 집합이 존재할 때 보일 수 있다.

개요

고등학교 교육과정에서, 실수 집합은 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합으로 정의하고, 무리수는 실수 중 유리수가 아닌 수로 정의한다. 순환논리 실수를 십진 전개 소수로 나타낼 수 있는 수로 정의하기도 한다. 하지만 이는 극한을 먼저 정의해야 할 뿐만 아니라 실수 집합의 성질을 잘 나타내지 못하는 정의이다.

현대에는 실수 집합을 후술하는 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다. 실수 집합은 유리수 집합과는 완비성을 가진다는 점에서 다르다. 예를 들어, 다음의 집합을 상정해보자:

$\left\{\lfloor 10^{i}{\sqrt {2}}\rfloor 10^{-i}:\;i\in {\mathbb {N}}\cup \{0\}\right\}=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots \}$

이는 분명 유리수 집합의 위로 유계된 부분집합이지만, 이 집합의 상한 ${\sqrt {2}}$은 유리수가 아니다. 즉, 유리수 집합은 완비성을 가지지 않는 것이다.

이쯤 되면 ‘실수 집합이 과연 존재하는가?’라는 질문을 가질 수도 있을 것이다. 놀랍게도, 실수 집합은 유리수를 이용하여 만들(모델링) 수 있다. 이때 유리수 집합은 정수 집합에서, 정수 집합은 (0을 포함한) 자연수 집합에서 이끌어낼 수 있으므로, 자연수 집합의 존재만 가정하면 자연히 실수 집합은 존재하게 된다.

실수 집합의 정의

실수 집합은 다음의 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다:

• 체 공리
• 순서 공리
• 완비성 공리

실수 집합의 존재성

이와 관련한 내용은 Wikipedia:Construction of the real numbers에서 볼 수 있습니다.

유리수에서 실수 집합을 생성하는 방법은 코시 수열(Cauchy Sequence)를 이용하거나 데데킨트 절단(Dedekind cut)을 이용한다. 사실 생성 방법은 다르나 두 가지 방법 모두 실수의 완비성(Completeness)을 유도할 수 있다.

우선 각 수열의 값이 유리수로 구성된 코시 수열(Cauchy Sequence)들의 집합을 ${\mathcal {C}}=\{\{x_{n}\}|x_{n}\in \mathbb {Q} ,n\in \mathbb {N} \}$라고 놓자. 여기서 코시 수열의 거리(metric)은 일반적 거리 d(x,y)=|x-y|에 의해 정의된다. 다른 거리인 p진 거리에 의해 생성되는 완비된 집합의 경우, p진수 문서를 참조할 것. 코시 수열을 수식으로 표현하자면 아래와 같이 표현할 수 있다.

$\{x_{n}\}\in {\mathcal {C}}\leftrightarrow \forall \epsilon >0,(\exists N\in \mathbb {N} (\forall k,l\geq N\rightarrow |c_{k}-c_{l}|<\epsilon ))$

그 다음에 코시 수열의 집합 C에 대해서 동치관계(equivalence relation) '~'를 아래와 같이 정의한다.

$a\sim b(\in {\mathcal {C}})\Leftrightarrow \forall \epsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} \land (\forall n>N\rightarrow |a_{n}-b_{n}|<\epsilon ))$

그러면 ~가 동치관계임을 보일 수 있고 (추가예정), 따라서 동치관계에서 나오는 코시 수열의 분할(Partition) C/~이 존재하게 된다.

또한 수열의 합과 곱, 부등호를 아래와 같이 정의할 경우 코시 수열의 분할 C/~에 대해서도 합, 곱 그리고 부등호의 정의가 잘 정의되며, 게다가 선형 부등호를 가진 체(Linearly ordered field)가 만들어진다. 이것이 실수 체(Real Number System)이 된다.

• 두 수열의 합 - n번째 항끼리 합한 새 수열을 두 수열의 합으로 정의한다 : $(x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})$
• 두 수열의 곱 - n번째 항끼리 곱한 새 수열을 두 수열의 곱으로 정의한다 : $(x_{n})\cdot (y_{n})=(x_{n}y_{n})$
• 부등호 - 고정된 수 N에 대해 n이 N보다 클 때 a_n≥b_n으로 정의되면 수열 (a_n)는 (b_n)보다 작지 않다고 정의할 수 있다.