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오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation), 또는 오일러 방정식(Euler's equation)은 1744년 레온하르트 오일러가 처음으로 유도한 방정식이다. $f,y,y'$에 대해

${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0$

인 것은 적분

$J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f\{y(x),y'(x);x\}dx$

가 극값을 가질 필요조건이다.

유도

정적분

$J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f\{y(x),y'(x);x\}dx$

에 대해 $y=y(x)$일 때 J가 극값을 가진다면, $\alpha =0$일 때 J가 극값을 가지도록

$y(\alpha ,x)=y(0,x)+\alpha \eta (x)$

를 정의할 수 있다. 그러면 J를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f\{y(\alpha ,x),y'(\alpha ,x);x\}dx$

양변을 α에 대해 편미분하면,

${\frac {\partial J}{\partial \alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}f\{y(\alpha ,x),y'(\alpha ,x);x\}dx$

이고 따라서

${\frac {\partial J}{\partial \alpha }}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {\partial y'}{\partial \alpha }}\right)dx$

이다. 그러면

${\frac {\partial y}{\partial \alpha }}=\eta (x),\;{\frac {\partial y'}{\partial \alpha }}={\frac {d\eta }{dx}}$

이므로

${\frac {\partial J}{\partial \alpha }}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\eta (x)+{\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {d\eta }{dx}}\right)dx$

이다. 이때 부분적분법에 의해

${\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}{\frac {d\eta }{dx}}dx&=\left[{\frac {\partial f}{\partial y'}}\eta (x)\right]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\eta (x)dx\\&=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\eta (x)dx\end{aligned}}$

이므로

${\begin{aligned}{\frac {\partial J}{\partial \alpha }}&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\eta (x)-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\eta (x)\right)\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\eta (x)dx\end{aligned}}$

그러면 임의의 $\eta$에 대해

$0={\frac {\partial J}{\partial \alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\eta (x)dx$

이므로,

${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0$

을 얻는다.

예

최속강하선 문제

$(0,0)$의 위치에 정지해 있는 입자가 중력을 받고 마찰없이 $(x_{1},y_{1})$로 내려간다고 가정하자. 그러면 입자가 이동한 시간 T는

$T=\int _{(0,0)}^{(x_{1},y_{1})}{\frac {ds}{v}}$

로 주어진다. 이때 퍼텐셜에너지가 $(0,0)$에서 0이라고 가정하면, 역학적 에너지는 0이고 보존되므로

$mgy+{\frac {1}{2}}mv^{2}=0$

이다. 따라서

$v={\sqrt {-2gy}}$

이다. 그러면

$T={\frac {1}{\sqrt {-2g}}}\int _{0}^{y_{1}}{\sqrt {\frac {1+({\frac {dx}{dy}})^{2}}{y}}}dy$

이다. 이제 함수 f를

$f\{x(y),x'(y);y\}={\sqrt {\frac {1+x'^{2}}{y}}}$

로 정의하자. 이때

${\frac {\partial f}{\partial x}}=0$

이므로 오일러-라그랑주 방정식은

${\frac {d}{dy}}{\frac {\partial f}{\partial x'}}=0$

이다. 따라서

${\frac {\partial f}{\partial x'}}={\frac {x'}{\sqrt {y(1+x'^{2})}}}=c$

이다. 이때 c는 상수다. 양변을 제곱해 정리하면

$x'^{2}={\frac {c^{2}y}{1-c^{2}y}}$

이므로,

$x=\int {\sqrt {\frac {c^{2}y}{1-c^{2}y}}}dy$

이다. 이때

$y={\frac {1}{2c^{2}}}(1-\cos \theta )$

로 치환하면

$x={\frac {1}{2c^{2}}}(\theta -\sin \theta )$

가 되고, 이 곡선은 사이클로이드이다.

측지선

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일반화

함수가 여러 개일 때

적분

$J=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f\{y_{1},y'_{1},y_{2},y'_{2},\cdots ,\cdots ,;x\}$

가 주어졌을 때 오일러-라그랑주 방정식은

${\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'_{i}}}=0$

으로 주어진다.

변수가 여러 개일 때

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구속조건이 주어졌을 때

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