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평균값 정리(Mean value theorem, MVT)는 미분가능한 함수의 그래프의 두 점을 이었을 때, 두 점 사이의 다른 점이 존재하여 그 점에서 접선의 기울기가 두 점을 이은 직선의 기울기와 같다는 명제다.

진술

실수 $a,b\;(a<b)$에 대해, 함수 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,b)$에서 미분가능하면,

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$

인 $c\in (a,b)$가 존재한다.

증명

$g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ 라고 하자. 그러면 $g(a)=0,g(b)=0$이라서 롤의 정리를 적용해 $g'(c)=0=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$인 $c$를 찾을 수 있다. 그러면 $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$. 롤의 정리가 캐리해서 짧아진 증명

코시의 평균값 정리

위 평균값의 정리를 좀 더 일반화 시킨 버전.

실수 $a,b\;(a<b)$에 대해, 함수 $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,b)$에서 미분가능하면,

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

인 점 $c\in (a,b)$가 존재한다.

증명

함수 $h:[a,b]\to \mathbb {R}$을 다음과 같이 정의하자.

$h(x)={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}g(x)$

그러면 h는 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,b)$에서 미분가능하며,

$h(b)-h(a)=0$

이다. 따라서 롤의 정리에 의해 $h'(c)=0$인 $c\in (a,b)$가 존재한다. 그러면

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

이므로 원하는 결론을 얻는다.

다변수 함수의 평균값 정리

어떤 두 점 $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여 함수 $f:\;ab=\{ta+(1-t)b:\;t\in [0,1]\}\rightarrow \mathbb {R}$이 $ab^{\circ }$(양 끝 점 제외)에서 미분 가능하고 $a,b$에서 연속이면, 다음이 성립하는 $c\in ab^{\circ }$이 존재한다:

$f(b)-f(a)=\nabla f(c)^{\mathrm {T} }(b-a).$

이때 우변은 두 벡터의 유클리드 내적이다.

적분의 평균값 정리

연속함수 $f:\;\mathbb {R} ^{n}\supseteq D\rightarrow \mathbb {R}$에 대하여 $D$가 nonempty compact connected subset이면, 다음이 성립하는 $c\in D$이 존재한다:

$f(c)\int _{D}\;\mathrm {d} x=\int _{D}f(x)\;\mathrm {d} x.$

이를 1차원의 경우로 약화하면

$\left[\exists c\in (a,b):\;f(c)(b-a)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right]$ for all real $a\neq b$

이 된다.

증명

주어진 정의역에서 최댓값과 최솟값이 존재하므로(최대-최소 정리), 이를 각각 $M$, $m$이라 하면

$m\leq f(x)\leq M$,

$mA=\int _{D}m\;\mathrm {d} x\leq \int _{D}f(x)\;\mathrm {d} x\leq \int _{D}M\;\mathrm {d} x=MA$

인데 $A=\int _{D}\;\mathrm {d} x=0$이면 주어진 명제가 성립하므로, 이 경우를 제외하고 생각하면 일반성을 잃지 않고 A > 0이므로

$m\leq {\frac {1}{A}}\int _{D}f(x)\;\mathrm {d} x\leq M$

이고, 함숫값이 $M$과 $m$인 두 점을 이은 어떤 선 중 D에 속한 것(정의역이 연결집합이므로 D에 속하는 어떤 선이 존재한다.)을 t ∈ [0, 1]로 매개화하면 중간값 정리에 의하여 증명이 완료된다.

일반화된 적분의 평균값 정리

연속함수 $f,g:\;\mathbb {R} ^{n}\supseteq D\rightarrow \mathbb {R}$에 대하여 $D$가 nonempty compact connected subset이고 $g(x)$의 부호(nonnegative 또는 nonpositive)가 정의역 전체에서 일정한 적분가능 함수면, 다음이 성립하는 $c\in D$이 존재한다:

$f(c)\int _{D}g(x)\;\mathrm {d} x=\int _{D}f(x)g(x)\;\mathrm {d} x.$

이를 1차원의 경우로 약화하면

$\left[\exists c\in (a,b):\;f(c)\int _{a}^{b}g(x)\;\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)g(x)\;\mathrm {d} x\right]$ for all real $a\neq b$

이 된다.

증명은 위와 거의 같다.

활용

함수의 증감

여러 가지 활용이 있겠지만 가장 익숙한 것은 함수의 그래프를 그리는 방법일 것이다.

함수 $f$가 $\left(a,b\right)$에서 미분가능하고 $f'\left(x\right)\geq 0$이면, $f$는 그 구간에서 증가한다.

함수 $f$가 $\left(a,b\right)$에서 미분가능하고 $f'\left(x\right)\leq 0$이면, $f$는 그 구간에서 감소한다.

증명

$\left(a,b\right)$내에서 임의의 $x_{1},x_{2}$를 $x_{1}<x_{2}$가 되게 잡는다. 그럼 $f$는 $\left[x_{1},x_{2}\right]$에서 연속이고 $\left(x_{1},x_{2}\right)$에서 미분가능하다. 따라서 평균값의 정리에 의해 $f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{2}}}$를 만족하는 $x_{0}$가 $\left(x_{1},x_{2}\right)$내에 적어도 하나 존재한다. 또한 $x_{2}-x_{1}>0,f'\left(x_{0}\right)\geq 0$이므로 $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\geq 0$이다. 이것은 곧 $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$이고, $x_{1},x_{2}$는 구간 내의 임의의 값이므로 $f$는 구간 내에서 증가한다.

비슷한 방법으로 함수의 감소에 대해 증명할 수 있다.

연쇄법칙

이와 관련한 내용은 연쇄법칙에서 볼 수 있습니다.

Chain Rule 이라고도 부르는 미분 법칙.

$\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)'=g'\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)$

좀 더 엄밀한 버전은 아래.

$\left[a,b\right]$에서 연속이고 $\left(a,b\right)$에서 미분가능한 함수 $f$와 ${\text{Im}}f$, 혹은 이를 포함하는 집합에서 정의된 함수 $g$를 생각하자. $f$가 $c$에서 미분가능하며 $g$가 $f\left(c\right)$에서 미분 가능하면, $g\left(f\left(x\right)\right)$는 $x=c$에서 미분 가능하며, $\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dx} }}g\left(f\left(x\right)\right)\right|_{x=c}=g'\left(f\left(c\right)\right)f'\left(c\right)$이다.

사실 연쇄 법칙은 평균값의 정리를 사용하지 않고 증명하는 것이 일반적인데, 그 이유는 평균값의 정리를 연쇄 법칙보다 나중에 배우기 때문. 증명은 생략한다.

로피탈의 정리

본문을 가져온 내용 이 내용은 로피탈의 정리 문서의 본문을 가져와 보여주고 있습니다. 더 자세한 내용은 해당 문서에서 확인해 주십시오.

코시의 평균값 정리를 사용하여 증명한다.