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정의

두 번 미분가능하고 이계도함수가 연속인 함수 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$에 대해, 함수값을 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$라 하자. 이때 행렬

$H(f)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

을 헤세 행렬(Hessian matrix), 또는 헤시안(Hessian)이라 한다. 이계도함수가 연속이라는 가정 때문에 편미분 교환법칙이 성립하여 헤세 행렬은 대칭행렬이다.

예

이변수함수 $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$가 주어졌다고 하자. 그러면 f의 헤세 행렬은

$H(f)={\begin{bmatrix}6x&-3\\-3&6y\end{bmatrix}}$

이다.