정의
임의의 집합
에 대해
을 외측도라고 정의했다.
가 주어졌을 때, 임의의 집합
에 대해
이면
는 르베그 가측가능(Lebesgue measurable), 또는 간단히 가측가능하다고 한다.
을 모든 가측집합의 모임이라 할 때, 함수
을
로 정의하면,
을 르베그 측도함수(Lebesgue measure function)라 하고,
를
의 르베그 측도(Lebesgue measure) 또는 간단히 측도(measure)라고 한다.
예시
은 가측집합이다.
- 가산집합은 가측집합이고 그 측도는 영이다.
- 외측도가 0인 집합은 가측집합이다.
- 칸토어 집합의 측도는 0이고 가측집합이다.
- 임의의 보렐 집합은 가측집합이다.
성질
Theorem —
이 서로소인 가측집합이면
이다.