정의 1. 구간
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
에서 위상공간
X
{\displaystyle X}
로의 연속함수
α
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \alpha :[0,1]\to X}
를 경로 (path)라고 한다. 이때
p
(
0
)
{\displaystyle p(0)}
을 시초점(initial point),
p
(
1
)
{\displaystyle p(1)}
을 종점(terminal point)이라 하고 시초점과 종점을 통틀어 끝점(endpoint)이라 한다. 경로의 시점과 종점이 같으면 그 경로를 루프 (loop)라 하고, 공통 끝점을 바탕점(base point)이라 한다.
경로연결공간
정의 2. 위상공간
X
{\displaystyle X}
의 임의의 서로 다른 두 점
a
,
b
{\displaystyle a,b}
에 대해 시초점이
a
{\displaystyle a}
이고 종점이
b
{\displaystyle b}
인 경로가 존재하면
X
{\displaystyle X}
를 경로연결공간 이라 한다.
정리 3. 경로연결공간은 연결공간 이다.
경로호모토피
두 경로 사이의 호모토피를 시각적으로 나타낸 이미지.
정의 4.
α
,
β
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to X}
가
α
(
0
)
=
β
(
0
)
{\displaystyle \alpha (0)=\beta (0)}
이고
α
(
1
)
=
β
(
1
)
{\displaystyle \alpha (1)=\beta (1)}
인 경로라고 하자. 이때 연속함수
F
:
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}
가 존재해
F
(
t
,
0
)
=
α
(
t
)
,
F
(
t
,
1
)
=
β
(
t
)
,
t
∈
I
{\displaystyle F(t,0)=\alpha (t),F(t,1)=\beta (t),\quad t\in I}
F
(
0
,
s
)
=
α
(
0
)
=
β
(
0
)
,
F
(
1
,
s
)
=
α
(
1
)
=
β
(
1
)
,
s
∈
I
{\displaystyle F(0,s)=\alpha (0)=\beta (0),F(1,s)=\alpha (1)=\beta (1),\quad s\in I}
이면
F
{\displaystyle F}
를
α
{\displaystyle \alpha }
와
β
{\displaystyle \beta }
사이의 호모토피 (homotopy)라고 하고,
α
{\displaystyle \alpha }
와
β
{\displaystyle \beta }
가 끝점에 대해 동등, 또는 호모토픽(equivalent/homotopic modulo endpoints)이라고 한다.
정리 5. 경로호모토피 관계는 동등관계 이다.