정의
정의 1. 집합
가 주어지고, 함수
이 임의의
에 대해
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![{\displaystyle d(x,y)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1309cec878e6d9effccd8a2d2ed065a8e82bfa82)
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(1)
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![{\displaystyle d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb88c2199cb30537634acc1d50266640cef80067)
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(2)
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![{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fea33d0e60116abd16287351eb6bf142a61fdd)
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(3)
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![{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ae751284c2944886e1effbfe4e0c1293f98419)
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(4)
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를 만족하면,
를
의 거리(metric) 또는 거리함수(distance function)라고 하며
를
에서
로의 거리(distance)라고 한다. 거리함수
가 주어진 집합
를 거리공간(metric space)라고 하고
로 쓴다.
정리 2. 함수
이 임의의
에 대해 조건 (2), (3), (4)를 만족한다고 가정하자. 그러면
는 거리함수이다.
Proof
임의의
에 대해,
이므로 원하는 결론을 얻는다.
예 3.
가 거리함수가 되기 위한 조건 중 1이 아니라 다른 조건이 빠지면
는 거리함수가 아닐 수 있다.[1] 세 점 집합
가 주어졌다고 하자.
- 함수
을 임의의
에 대해
이 되도록 정의하면, 조건 1, 3, 4는 만족하지만 조건 2를 만족하지 않는다.
- 함수
을
,
,
이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 4는 만족하지만 조건 3을 만족하지 않는다.
- 함수
을
,
,
이 되도록 정의하면 조건 1, 2, 3은 만족하지만
이므로 조건 4를 만족하지 않는다.
정의 4. 함수
가 조건 (1), (3), (4)를 만족하고 조건 (2)의 일부인
을 만족하면
를 유사거리공간(psuedometric space)이라고 한다.
정리 5. 임의의 거리공간은 유사거리공간이다.
예시
예 6. 다음은 거리공간의 예시이다.
은
가 주어진 거리공간이다.
은
가 주어진 거리공간이다.
- 임의의 노름공간
에 대해
로 두면
는 거리공간이다.
- 임의의 집합
에 대해
로 두면
는 거리공간이고, 이를 이산거리공간이라고 한다.
에서 정의된 모든 연속실함수의 집합을
라 하자. 이때
,
는 모두
의 거리함수이다.
열린집합과 닫힌집합
정의 7. 거리공간
에서 중심이
이고 반지름이
인 열린 공
을 다음과 같이 정의하자.
의 부분집합
가 열린 공의 합집합이면
를
의 열린집합이라고 한다. 이렇게 정의된 모든 열린집합의 모임을
가 생성한
의 위상(topology for
generated by
)이라고 한다.
정의 8.
의 부분집합
에 대해
가 열린집합이면
를 닫힌집합이라고 한다.
정리 9. 거리공간
에서,
는 열린집합이다.
- 열린집합의 합집합은 열린집합이다.
- 가산 개 열린집합의 교집합은 열린집합이다.
정리 9는 위상공간의 정의에 이용된다.
두 집합 사이의 거리
정의 10. 위상공간
의 한 점
와 부분집합
에 대해,
를
에서
까지의 거리라고 한다.
정의 11. 위상공간
의 두 부분집합
에 대해,
를
와
사이의 하우스도르프 거리라고 한다.
수열의 극한
정의 12. 거리공간
에서 정의된 수열
과
이 주어졌을 때, 임의의
에 대해 양의 정수
이 존재해 임의의 양의 정수
에 대해
이면
이
로 수렴한다고 한다.
정리 13. 거리공간에서 정의된 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.
Proof
거리공간의 수열
이
로 수렴한다고 가정하자. 그러면 임의의
에 대해 양의 정수
이 존재해 임의의
에 대해
이고
이다. 그러면
인데,
이 임의의 양수이므로
이고, 따라서
이다.
정의 14. 거리공간
에서 정의된 수열
에 대해, 임의의
에 대해 양의 정수
이 존재해 임의의 양의 정수
에 대해
이면
을 코시 수열이라고 한다.
임의의 수렴하는 수열은 코시 수열이지만, 코시 수열이 반드시 수렴하지는 않는다. 임의의 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비거리공간이라 한다.
은 대표적인 완비거리공간이다.
연속함수
정의 15. 거리공간
과 함수
가 주어졌다고 하자. 임의의
에 대해
이 존재해,
이고
이면
일 때,
가
에서 연속이라고 한다.
가
의 임의의 점에서 연속이면,
를 연속함수라고 한다.
정리 16. 거리공간
와 함수
에 대해, 다음 명제는 동등하다.
는 연속함수이다.
로 수렴하는 임의의 수열
에 대해
는
로 수렴한다.
의 임의의 열린집합
에 대해
는
의 열린집합이다.
의 임의의 닫힌집합
에 대해
는
의 닫힌집합이다.}}
정의 17. 거리공간
과 함수
가 주어졌다고 하자. 임의의
에 대해
이 존재해
인 임의의
에 대해
이면
가 고른연속(uniformly continuous)이라고 한다.
거리공간의 곱공간
유한 개 거리공간
에 대해,
으로 정의하고
를
로 정의하면
는 거리공간이다. 이때
,
이다.
거리공간열
에 대해
으로 정의하고
를
로 정의하면
는 거리공간이다.
위상적 성질
정리 18. 임의의 거리공간은 제1가산공간이다.
정리 19. 임의의 분해가능 거리공간은 제2가산공간이다.
거리화 가능 공간
정의 20. 위상공간
에 대해,
에서 정의된 거리
가 생성한 위상이
와 같으면
를 거리화 가능 공간(metrizable space)이라고 한다. 노름공간과 가산 개 거리공간의 곱은 거리화 가능 공간이다.
출처