실수계에서 구간의 길이부터 시작하여 열린집합과 닫힌집합의 길이를 정의할 수 있으나, 길이의 개념을 모든 집합으로 일반화하려고 한다. 이때 실수계의 모든 집합의 모임을 정의역으로 삼고 함숫값이 확장된 실수인 함수 이 다음과 같은 네 가지 성질을 만족하기를 기대한다.
- 임의의 에 대해 가 정의된다.
- 가 구간이면 이다.
- 가산가법성: 가 서로소인 집합열이면 이다.
- 평행변환불변성(translation invariance): 가 임의의 고정된 실수일 때 이다.
그러나 연속체 가설을 가정한다면 네 가지 성질을 모두 만족하는 함수는 없다. 그러므로 적어도 하나의 조건이 완화될 필요가 있는데, 외측도(outer measure)는 가산가법성을 약화한 개념이다.
정의
임의의 집합 에 대해
를 르베그 외측도(Lebesgue outer measure), 또는 간단히 외측도(outer measure)라고 한다. 이때 는 를 덮는, 즉 를 만족하는 가산 개의 열린구간의 모임이다.
성질
- 임의의 집합 에 대해 이다. 특히 이다.
- 두 집합 에 대해 이면 이다.
Proof
인 가산 개의 서로소인 열린집합의 모임 가 존재하는데, 이므로 이고 따라서 이다. 이 부등식은 임의의 에 대해 성립하므로 이다.
- 가 가산집합이면 이다.
- 임의의 에 대해 이다.
- 구간의 외측도는 그 구간의 길이와 같다.
- 가산준가법성(Countable subadditivity): 이 가산 개의 집합의 모임이면 이다. 이 서로소이어도 가산가법성이 성립하지는 않는다.
예시
르베그 측도
집합 가 주어졌을 때, 임의의 집합 에 대해
이면 는 르베그 가측가능(Lebesgue measurable) 또는 단순히 가측가능하다고 한다.