를 완비거리공간 에서 정의된 축약사상이라 하자. 가 축약사상이므로, 수열 에 대해
인 가 존재한다. 그러면 인 임의의 자연수 에 대해
- 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{align} d(f^m(x),f^n(x))&\le d(f^m(x),f^{m+1}(x))+\cdots + d(f^{n-1}(x),f^n(x))\\ &\le (\alpha^m+\alpha^{m+1}+\cdots + \alpha^{n-1})d(x,f(x))\\ &< \frac{\alpha^m}{1-\alpha}d(x,f(x)) \end{align}}
이다. 임의의 에 대해 이면 , 이면 인 자연수 을 선택할 수 있다. 그러면 을 얻으므로, 은 코시 수열이다. 가 완비거리공간이므로, 은 위의 점 으로 수렴한다. 축약사상은 연속함수이므로,
이고, 따라서 은 의 부동점이다. 이제 의 부동점이 유일함을 보이자. 의 부동점을 라 하자. 그러면
이므로 이다. 이므로 이고, 따라서 이다.