바나흐 부동점 정리

바나흐 부동점 정리(Banach Fixed-point Theorem) 1922년 스테판 바나흐가 기술한 정리이다.

진술

Theorem — 완비거리공간에서 정의된 축약사상의 부동점은 유일하다.

증명

Proof

$f:X\to X$를 완비거리공간 $(X,d)$에서 정의된 축약사상이라 하자. $f$가 축약사상이므로, 수열 $\{f^{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$에 대해

${\begin{aligned}d(f^{n}(x),f^{n+1}(x))&\leq \alpha d(f^{n-1}(x),f^{n}(x))\\&\leq \cdots \\&\leq \alpha ^{n}d(x,f(x))\end{aligned}}$

인 $\alpha \;(0\leq \alpha <1)$가 존재한다. 그러면 $n>m\geq 1$인 임의의 자연수 $m,n$에 대해

${\begin{aligned}d(f^{m}(x),f^{n}(x))&\leq d(f^{m}(x),f^{m+1}(x))+\cdots +d(f^{n-1}(x),f^{n}(x))\\&\leq (\alpha ^{m}+\alpha ^{m+1}+\cdots +\alpha ^{n-1})d(x,f(x))\\&\leq {\frac {\alpha ^{m}}{1-\alpha }}d(x,f(x))\end{aligned}}$

이다. 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\alpha =0$이거나 $d(x,f(x))=0$이면 $N=1$, $\alpha >0$이고 $d(x,f(x))>0$이면 $N>{\frac {\ln \epsilon +\ln(1-\alpha )-\ln d(x,f(x))}{\ln \alpha }}$인 자연수 $N$을 선택할 수 있다. 그러면 $m,n>N$일 때 $d(f^{m}(x),f^{n}(x))<\epsilon$을 얻으므로, $\{f^{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$은 코시 수열이다. $X$가 완비거리공간이므로, $\{f^{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$은 $X$ 위의 점 $x^{*}$으로 수렴한다. 축약사상은 연속함수이므로,

${\begin{aligned}f(x^{*}&)=f(\lim _{n\to \infty }f^{n}(x))\\&=\lim _{n\to \infty }f(f^{n}(x))\\&=\lim _{n\to \infty }f^{n+1}(x)\\&=x^{*}\end{aligned}}$

이고, 따라서 $x^{*}$은 $f$의 부동점이다. 이제 $f$의 부동점이 유일함을 보이자. $f$의 부동점을 $x^{*},y^{*}$라 하자. 그러면

${\begin{aligned}d(x^{*},y^{*})&=d(f(x^{*}),f(y^{*}))\\&\leq \alpha d(x^{*},y^{*})\end{aligned}}$

이므로 $(1-\alpha )d(x^{*},y^{*})\leq 0$이다. $1-\alpha >0$이므로 $d(x^{*},y^{*})=0$이고, 따라서 $x^{*}=y^{*}$이다.