정의
위상공간 의 임의의 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가지면, 를 린델뢰프 공간(Lindelöf space)이라 한다.
예시
Non-Example — 무어 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.
Theorem — 임의의 제2가산공간은 린델뢰프 공간이다. 역은 성립하지 않는다.
성질
Theorem — 린델뢰프 공간 가 콤팩트공간일 필요충분조건은 가 가산콤팩트공간인 것이다.
Proof
콤팩트공간이 가산콤팩트공간임은 자명하므로, 가 가산콤팩트공간이라 가정하자. 의 열린 덮개 는 가 린델뢰프 공간이므로 가산 부분덮개 를 가진다. 그러면 가 가산콤팩트공간이므로 는 유한 부분덮개 를 가진다. 는 의 유한 부분덮개이므로, 는 콤팩트공간이다.
Theorem — 린델뢰프 성질은 위상적 성질이다.
Proof
를 린델뢰프 공간 가 정의역이고 위상공간 가 공역인 위상동형사상이라 하자. 의 열린 덮개 하나를 골라 라 하자. 그러면 임의의 에 대해 가 연속함수이므로 는 열린집합이고, 는 의 열린덮개이다. 가 린델뢰프 공간이므로, 는 부분덮개 를 가진다. 그러면
구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} \bigcup_{i=1}^{\infty} O_i&=\bigcup_{i=1}^{\infty} f(f^{-1}(O_i))&(\because\text{$f$ is surjective)}\\ &=f\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}(f^{-1}(O_i))\right)\\ &=f(X)\\ &=Y \end{align}}
이므로 은 의 가산 부분덮개이다. 따라서 는 린델뢰프 공간이다.