완비거리공간

정의

거리공간 $(X,d)$의 임의의 코시 수열이 $X$의 점으로 수렴하면, $(X,d)$를 완비거리공간(complete metric space)이라 한다.

예시

• $\mathbb {R}$은 완비거리공간이다. 일반적으로 $\mathbb {R} ^{n}$은 완비거리공간이다.
• 닫힌구간 $[a,b]$는 완비거리공간이다. 그러나 열린구간이나 반열림구간 $[a,b),(a,b],(a,b)$는 완비거리공간이 아니다.
• 힐베르트 공간은 완비거리공간이다.
• $\mathbb {Q}$는 완비거리공간이 아니다.

성질

Theorem — 완비거리공간의 부분공간이 완비거리공간일 필요충분조건은 부분공간이 닫혀 있는 것이다.

Proof

완비거리공간 $(X,d)$의 부분공간을 $A$라 하자. 먼저 $A$가 완비거리공간이라 가정하자. $A$가 닫혀 있음을 보이기 위해 $A$의 임의의 극한점이 $A$의 원소임을 보일 것이다. $x$를 $A$의 극한점이라 하면 항이 서로 다르고 $x$로 수렴하는 $A$의 수열이 존재한다. 수렴하는 수열은 코시 수열이고 $A$가 완비되었으므로, 수열의 극한값인 $x$는 $A$의 원소이다.

이제 $A$가 닫힌집합이라 가정하자. $\{x_{n}\}$을 $A$의 코시 수열이라 하자. $X$가 완비거리공간이므로, $\{x_{n}\}$은 $X$의 한 점으로 수렴한다. 이 점을 $x$라 하자. 그러면 $x$는 $A$의 극한점이고 $A$가 닫힌집합이므로 $x\in {\overline {A}}=A$이다. 따라서 $A$는 완비거리공간이다.

베어 카테고리 정리(Baire Category Theorem) — 임의의 완비거리공간은 베어 공간이다.

바나흐 부동점 정리(Banach Fixed-point Theorem) — 완비거리공간 $(X,d)$와 축약사상 $f:X\to X$에 대해, $f(x)=x$인 $x\in X$가 유일하게 존재한다.