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위상공간(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, 거리의 개념은 주어져 있지 않다.

정의

다음의 세 조건을 만족하는 집합족 ${\mathcal {T}}$을 위상(topology)라 하고 $(X,{\mathcal {T}})$를 위상공간이라 한다:

• $\emptyset ,X\in {\mathcal {T}}$
• 임의의 $i\in J$에 대해 $G_{i}\in {\mathcal {T}}$이면 $\bigcup _{i\in J}G_{i}\in {\mathcal {T}}$이다. 즉, ${\mathcal {T}}$의 원소들의 합집합이 ${\mathcal {T}}$에 속한다. 합한 원소들이 유한, 가산일 필요는 없다.
• $i=1,2,\cdots ,n$에 대해 $G_{i}\in {\mathcal {T}}$이면 $\bigcap _{i=1}^{n}G_{i}\in {\mathcal {T}}$이다. 즉, ${\mathcal {T}}$의 원소들의 유한 교집합이 ${\mathcal {T}}$에 속한다.

위상은 위상공간 $X$의 부분집합의 위 조건을 만족하는 집합족이며 위상의 원소들을 열린 집합, 열린 집합의 여집합을 닫힌 집합이라 정의한다. 또한 $X$의 임의의 원소 $x$에 대하여, $x$의 근방을 $x$를 포함하는 임의의 열린 집합으로 정의한다. 또한 집합 $U$의 폐포는 $U$와 서로소(disjoint)인 모든 열린 집합의 여집합의 교집합으로 정의되며(동치:U를 포함하는 닫힌 집합들의 교집합으로 정의), 내부(interior)는 $U$의 모든 부분 열린 집합의 합집합으로 정의된다. 물론, 보통의 경우에는 열린 집합을 이용하여 정의한다.

위와 같이 열린 집합(또는 근방, 닫힌 집합, 폐포, 내부)이 무엇인지 정의하지 않으면 나머지는 그를 이용하여 정의할 수 있다. 나머지를 이용한 다른 (위와 동치인) 정의는 다음 단락에 서술한다.

${\mathcal {T}}$는 경우에 따라 관심 대상이 아닌 경우도 있다. 이때는 위상을 생략하여 $X$로만 나타낸다.

위상의 종류

• 실수 집합이나 유클리드 공간 위에서 개구간과 그 합집합만을 포함하는 위상을 보통위상(usual topology) 또는 표준위상(standard topology)이라 한다.
• 집합 $X$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$의 원소를 모두 열린 집합으로 보는 위상을 이산위상(discrete topology)라 한다.
• 공집합과 $X$ 두 개만을 열린 집합으로 정의하는 위상을 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial topology)라 한다.
• 위상 ${\mathcal {T}}=\left\{U\subset X|X\setminus U\right\}\cup \left\{\emptyset \right\}$에 대하여 $X\setminus U$가 유한집합이면 여유한위상(cofinite topology, finite complement topology), 가산집합이면 여가산위상(cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 즉 여유한위상은 여집합이 유한집합이면 열린 집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린 집합이라 정의하는 것이다.

위상의 비교

$X$의 두 위상 ${\mathcal {T}},{\mathcal {T}}'$에 대하여, ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}'$이면 ${\mathcal {T}}$가 ${\mathcal {T}}'$보다 더 섬세(finer)하며, ${\mathcal {T}}'$가 ${\mathcal {T}}$보다 더 엉성(coarser)하다고 한다. 어떤 위상이 더 섬세한지 엉성한지 알 수 있을 때 두 위상이 비교가능(comparable)하다고 한다.